Question

如圖，在四邊形ABCD中，CA=CD=

1

2

AB=1，

AB

•

AC

=1，sin∠BCD=

3

5

．
（Ⅰ）求四邊形ABCD的面積；
（Ⅱ）求sinD的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）延長(zhǎng)BC到E，過D作DE⊥CE，DF⊥AC，根據(jù)題意求出AC=CD=1，AB=2，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則化簡(jiǎn)

AB

•

AC

=1，求出cos∠BAC的值，確定出∠BAC的度數(shù)，利用余弦定理求出BC的長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理得到∠ACB為直角，由DF=CE，在直角三角形DCE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出CE的長(zhǎng)，即為DF的長(zhǎng)，求四邊形ABCD的面積即可；
（Ⅱ）在三角形ACD中，利用余弦定理求出AD的長(zhǎng)，再利用正弦定理求出sinD的值即可．

解答：解：（Ⅰ）延長(zhǎng)BC到E，過D作DE⊥CE，DF⊥AC，
由條件得：AC=CD=1，AB=2，
∵

AB

•

AC

=1×2×cos∠BAC=1，∴cos∠BAC=

1

2

，
∵∠BAC∈（0，π），
∴∠BAC=

π

3

，
∴BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos∠BAC=3，
∴BC=

3

，
∴BC²+AC²=AB²，
∴∠ACB=

π

2

，
∵DF=CE=CD•cos∠DCE=1×

1-sin2∠DCE

=

4

5

，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=

3

2

+

2

5

；
（Ⅱ）在△ACD中，AD²=AC²+DC²-2AC•DC•cos∠ACD=1+1-

6

5

=

4

5

，
∴AD=

2 5

5

，
∵

AC

sinD

=

AD

sin∠ACD

，
則sinD=

AC

AD

sin∠ACD=

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．