Question

(2004年，北京市)如圖，在正三棱柱中，AB=2，，由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到頂點(diǎn)的最短路線與的交點(diǎn)記為M，求：

(1)三棱柱的側(cè)面展開圖的對(duì)角線長(zhǎng)；

(2)該最短路線的長(zhǎng)及的值；

(3)平面與平面ABC所成二面角(銳角)的大�。�

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)正三棱柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)為6，寬為2的矩形， 其對(duì)角線長(zhǎng)為； (2)如圖，將側(cè)面繞棱旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面在同一平面上，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的位置，連交于M，則就是由頂點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到頂點(diǎn)的最短路線，其長(zhǎng)為 ∵， ∴ 故； (3)連DB、，則DB就是平面與平面ABC的交線 在△DCB中 ∵∠DBC=∠CBA＋∠ABD=60°＋30°=90° ∴CB⊥DB 又⊥平面CBD 由三垂線定理得 ∴就是平面與平面ABC所成二面角的平面角(銳角) ∵側(cè)面是正方形 ∴ 故平面與平面ABC所成的二面角(銳角)為45°．