精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

已知{an}是正數組成的數列，a1＝1，且點()(n∈N*)在函數y＝x2＋1的圖象上．

(Ⅰ)求數列{an}的通項公式；

(Ⅱ)若列數{bn}滿足b1＝1，bn+1＝bn＋2an，求證：bn·bn+2＜b2n+1．

答案：
解析：

　　解法一：

　　(Ⅰ)由已知得an+1＝an＋1、即an+1－an＝1，又a1＝1，

　　所以數列{an}是以1為首項，公差為1的等差數列．

　　故an＝1＋(a－1)×1＝n．

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知：an＝n從而bn+1－bn＝2n．

　　bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1

　　＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1

　�。�＝2n－1．

　　因為bn·bn+2－b＝(2n－1)(2n+2－1)－(2n－1－1)2

　�。�(22n+2－2n+2－2n＋1)－(22n+2－2－2n+1－1)

　�。剑�5·2n＋4·2n

　　＝－2n＜0，

　　所以bn·bn+2＜b，

　　解法二：

　　(Ⅰ)同解法一．

　　(Ⅱ)因為b2＝1，

　　bn·bn+2－b＝(bn+1－2n)(bn+1＋2n+1)－b

　�。�2n+1·bn－1－2n·bn+1－2n·2n+1

　�。�2n(bn+1－2n+1)

　�。�2n(bn+2n－2n+1)

　�。�2n(bn－2n)

　�。健�

　�。�2n(b1－2)

　�。剑�2n〈0，

　　所以bn－bn+2＜b2n+1

　　本小題主要考查等差數列、等比數列等基本知識，考查轉化與化歸思想，考查推理與運算能力．滿分12分．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•眉山二模）設a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實數，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，我們稱S=a1c1+a2c2+a3c3+…+ancn為兩組實數的亂序和，S1=a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1為反序和，S2=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn 為順序和．根據排序原理有：S1≤S≤S2即：反序和≤亂序和≤順序和．給出下列命題：
①數組（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和為60；
②若A=
x
2
1
+
x
2
2
+…+
x
2
n
，B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1其中x1，x2，…xn都是正數，則A≤B；
③設正實數a1，a2，a3的任一排列為c1，c2，c3則
a1
c1
+
a2
c2
+
a3
c3
的最小值為3；
④已知正實數x1，x2，…，xn滿足x1+x2+…+xn=P，P為定值，則F=
x
2
1
x2
+
x
2
2
x3
+…+
x
2
n-1
xn
+
x
2
n
x1
的最小值為
P
2
．
其中所有正確命題的序號為
①③
①③
．（把所有正確命題的序號都填上）

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源：2012年四川省眉山市高考數學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn為兩組實數，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，我們稱S=a1c1+a2c2+a3c3+…+ancn為兩組實數的亂序和，S1=a1bn+a2bn-1+a3bn-2+…+anb1為反序和，S2=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn 為順序和．根據排序原理有：S1≤S≤S2即：反序和≤亂序和≤順序和．給出下列命題：
①數組（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和為60；
②若A=++…+，B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1其中x1，x2，…xn都是正數，則A≤B；
③設正實數a1，a2，a3的任一排列為c1，c2，c3則++的最小值為3；
④已知正實數x1，x2，…，xn滿足x1+x2+…+xn=P，P為定值，則F=++…++的最小值為．
其中所有正確命題的序號為    ．（把所有正確命題的序號都填上）

查看答案和解析>>

同步練習冊答案