Question

已知函數f（x）=

1+lnx

x

．
（1）若函數在區(qū)間（t，t+

1

2

）（其中t＞0）上存在極值，求實數t的取值范圍；
（2）如果當x≥1時，不等式f（x）≥

a

x+1

恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為f（x）=

1+lnx

x

，x＞0，則f′(x)=-

lnx

x2

，利用函數的單調性和函數f（x）在區(qū)間（t，t+

1

2

）（其中t＞0）上存在極值，能求出實數a的取值范圍．
（2）不等式f（x）≥

a

x+1

恒成立，即為

(x+1)(1+lnx)

x

≥a恒成立，構造函數g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，利用導數知識能求出實數k的取值范圍．

解答：解：（1）因為f（x）=

1+lnx

x

，x＞0，則f′(x)=-

lnx

x2

，
當0＜x＜1時，f′（x）＞0；
當x＞1時，f′（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上單調遞增；在（1，+∞）上單調遞減，所以函數f（x）在x=1處取得極大值．
因為函數f（x）在區(qū)間（t，t+

1

2

）（其中t＞0）上存在極值，
所以

t＜1 t+ 1 2 ＞1

，解得

1

2

＜t＜1．
（2）不等式f（x）≥

a

x+1

恒成立，即為

(x+1)(1+lnx)

x

≥a恒成立，
記g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，所以g′(x)=

[(x+1)(1+lnx)]′x-(x+1)(1+ln x)

x2

=

x-lnx

x2

令h（x）=x-lnx，
則h′(x)=1-

1

x

，
∵x≥1，∴h′（x）≥0，
∴h（x）在[1，+∞）上單調遞增，∴[h（x）]_min=h（1）=1＞0，
從而g′（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上也單調遞增，所以[g（x）]_min=g（1）=2，
所以a≤2．

點評：本題考查極值的應用，應用滿足條件的實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意構造法和分類討論法的合理運用．