Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= 是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，a﹣2]上的最小值為﹣1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)x＜0則﹣x＞0，

由x＞0，f（x）=﹣x2+2x，

可得f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x，

又f（x）為奇函數(shù)，

即有f（﹣x）=﹣f（x），

于是x＜0時(shí)，f（x）=x2+2x=x2+mx，

可得m=2

（2）解：由f（﹣1）=1﹣2=﹣1，

又x＞0時(shí)，f（x）=﹣x2+2x=﹣1，

可解得x=1+ ．

由于f（x）在區(qū)間[﹣1，a﹣2]上的最小值為﹣1，

作出y=f（x）的圖象可得，

，即 ，

所以a∈（1，3+ ]．

【解析】（1）設(shè)x＜0則﹣x＞0，運(yùn)用已知x＞0的解析式，結(jié)合奇函數(shù)的定義，可得x＜0的解析式，進(jìn)而得到m=2；（2）求得f（﹣1）=﹣1，再求x＞0時(shí)，f（x）=﹣1，解得x=1+ ．畫出f（x）的圖象，由圖象可得a的不等式組，解不等式可得a的范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的最值及其幾何意義的相關(guān)知識(shí)，掌握利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（小）值；利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲�；利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲担�以及對(duì)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的理解，了解在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇．