Question

(本題12分)在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，其焦點(diǎn)在圓上．

 ⑴求橢圓的方程；

⑵設(shè)、、是橢圓上的三點(diǎn)(異于橢圓頂點(diǎn))，且存在銳角，使．

①試求直線與的斜率的乘積；

②試求的值．

 

Answer 1

【答案】

(1) ．(2) (i) ，

(ii) =．

【解析】(1)易知焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),(1,0),再根據(jù)離心率求出a,進(jìn)而求出b的值.從而確定橢圓的方程.

(2)設(shè)，設(shè),因，

故,再根據(jù)M在橢圓上，可得,

然后再利用點(diǎn)A、B在橢圓上這個(gè)條件，得到兩個(gè)方程，以此對(duì)上面的方程化簡(jiǎn)，可求出直線與的斜率的乘積.

(ii) 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414072705297356/SYS201208241408039978571315_DA.files/image003.png">=,然后可以根據(jù)（i）的結(jié)論，得到,

從而,又因，所以.問(wèn)題到此得以解決.

(1)依題意得,  于是． 

所以所求橢圓的方程為．

      (2) (i)設(shè)，則    ①

    ②．

又設(shè),因，

故

因在橢圓上，

故

整理得：

將①②代入上式，并由得

所以

(ii)，

故

又

故

所以，=．