Question

已知圓O：x²+y²=4，直線l：kx-y-k-1=0
（1）判斷直線l和圓O的位置關系．
（2）求圓心到直線l的距離的最大值．
（3）如圖所示，圓O與y軸的正方向交于A點，點B在直線y=2上運動，過B做圓O的切線，切點為C，求△ABC垂心H的軌跡．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（1）判斷直線l過定點（1，1），根據(jù)點與圓的關系，即可判斷直線l和圓O的位置關系．
（2）根據(jù)圓心到直線的距離公式即可求圓心到直線l的距離的最大值．
（3）設垂心的坐標，根據(jù)條件，建立方程關系，即可求出H的軌跡方程．

解答： 解：（1）∵kx-y-k-1=0
∴y=k（x-1）-1
∴直線l經過定點P（1，-1），
又∵（1，-1）在圓的內部
∴直線l與圓O相交．
（2）由（1）知圓心到直線l的最大距離為|OP|=

2

．
（3）設H（x，y），C（x′，y′），連結AH，CH，
則AH⊥BC，CH⊥AB，BC是切線OC⊥BC，
∴OC∥AH，CH∥OA，OA=OC，
∴四邊形AOCH是菱形．
∴|CH|=|OA|=2，得

y′=y-2 x′=x

，
又C（x′，y′），滿足x′²+y′²=4，
所以x²+（y-2）²=4，（x≠0）即是所求軌跡方程．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系的判斷和應用，以及軌跡的求解嗎，考查學生的計算能力．