Question

已知函數(shù)f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ） 若直線y=kx+1與f（x）的反函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值；
（Ⅱ） 設(shè)x＞0，討論曲線y=

f(x)

x2

與直線y=m（m＞0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ） 設(shè)a＜b，比較

f(a)+f(b)

2

，

f(b)-f(a)

b-a

的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 求出函數(shù)的反函數(shù)，利用直線y=kx+1與f（x）的反函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值；
（Ⅱ） 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，利用最值討論曲線y=

f(x)

x2

與直線y=m（m＞0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（Ⅲ）利用作差法比較兩個(gè)數(shù)的大小．

解答：解：（Ⅰ） 函數(shù)f（x）的反函數(shù)為g（x）=lnx，設(shè)y=kx+1與g（x）相切于點(diǎn)P（x₀，y₀），
則

kx0+1=lnx0 k=g′(x0)= 1 x0

，解得x0=e2，k=e-2，所以k=e^-2．
（Ⅱ）當(dāng)x＞0，m＞0時(shí)，曲線y=

f(x)

x2

與直線y=m（m＞0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即f（x）=mx²根的個(gè)數(shù)．
即m=

ex

x2

，令h（x）=

ex

x2

，則h'（x）=

ex(x-2)

x3

，
當(dāng)0＜x＜2時(shí)，h'（x）＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞2時(shí)，h'（x）＞0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)h（x）取得極小值同時(shí)也是最小值h（2）=

e2

4

．
當(dāng)0＜m＜

e2

4

．時(shí)，有0個(gè)公共點(diǎn)，
當(dāng)m=

e2

4

時(shí)，有1個(gè)公共點(diǎn)，
當(dāng)m＞

e2

4

時(shí)，有2個(gè)公共點(diǎn)．
（Ⅲ）設(shè)

f(a)+f(b)

2

-

f(b)-f(a)

b-a

=

(b-a+2)f(a)+(b-a-2)f(b)

2(b-a)

=

(b-a+2)ea+(b-a-2)eb

2(b-a)

=

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

•ea，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x，x＞0，則g'（x）=1+（1+x-2）e^x=1+（x-1）e^x，
函數(shù)g'（x）的導(dǎo)函數(shù)[g'（x）]'=（1+x-1）e^x=xe^x＞0，
所以g'（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且g'（0）=0，
因此g'（x）＞0，
所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且g（0）=0，
所以在（0，+∞）上，g（x）＞0，
因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，g（x）=x+2+（x-2）e^x＞0，且a＜b，
所以

(b-a+2)+(b-a-2)eb-a

2(b-a)

•ea＞0，
即當(dāng)a＜b，

f(a)+f(b)

2

＞

f(b)-f(a)

b-a

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．