Question

已知?jiǎng)訄AC過點(diǎn)（1，0）且與直線x=-1相切．
（1）求動圓圓心C的軌跡E方程；
（2）設(shè)A，B為軌跡E上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA，OB的傾斜角分別為α，β，且α+β=45°．當(dāng)α，β變化時(shí)，求證：直線AB恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)動圓圓心M（x，y），由題設(shè)條件推導(dǎo)出點(diǎn)M的軌跡是以（1，0）為焦點(diǎn)，直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，由此能求出動圓圓心C的軌跡方程．
（2）設(shè)OA：y=kx，則OB：y=

1-k

1+k

x，聯(lián)立方程求出A，B坐標(biāo)，進(jìn)而利用斜率公式可證得A、B、Q（-4，4）三點(diǎn)共線．

解答： 解：（1）設(shè)動圓圓心M（x，y），
∵動圓C過定點(diǎn)（1，0），且與直線x=-1相切，
∴點(diǎn)M的軌跡是以（1，0）為焦點(diǎn)，直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線…（2分）
其方程為y²=4x．
∴動圓圓心C的軌跡方程是y²=4x．…（3分）
證明：（2）設(shè)OA：y=kx（k∈（0，1））
則OB的斜率k_OB=tanβ=tan（45°-α）=

1-k

1+k

，
∴OB：y=

1-k

1+k

x
由

y=kx y= 1-k 1+k x

，可得：A（

4

k2

，

4

k

），
由

y2=4x y= 1-k 1+k x

可得：B（

4(1+k)2

(1-k)2

，

4(1+k)

1-k

），
下證A、B、Q（-4，4）三點(diǎn)共線：
∵k_QA-k_QB=

4 k -4

4 k2 +4

-

4(1+k) 1-k -4

4(1+k)2 (1-k)2 +4

=

k(1-k)

1+k2

-

k(1-k)

1+k2

=0
∴直線AB恒過定點(diǎn)Q（-4，4）．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查圓心的軌跡方程的求法，考查直線過某一定點(diǎn)的判斷與證明，綜合性強(qiáng)，難度大，對數(shù)學(xué)思維的要求較高．