精英家教網(wǎng)一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示,其中正視圖和側(cè)視圖是兩條直角邊分別是1和2的兩個(gè)全等的直角三角形,俯視圖是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形.
(Ⅰ)請(qǐng)畫(huà)出這個(gè)三棱錐的直觀圖,并求出它的體積;
(Ⅱ)以D為頂點(diǎn),DD1,DA,DC為相鄰的三條棱,作
平行六面體ABCD-A1B1C1D1,已知點(diǎn)E在AA1上移動(dòng)
(1)當(dāng)E點(diǎn)為AA1的中點(diǎn)時(shí),證明BE⊥平面B1C1E.
(2)在CC1上求一點(diǎn)P,使得平面BC1E∥平面PAD1,指出P點(diǎn)的位置
(Ⅲ)AE為何值時(shí),二面角C-ED1-D的大小為45°.
分析:(Ⅰ)三視圖復(fù)原幾何體是一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐,結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)直接求出它的體積;
(Ⅱ)以D為頂點(diǎn),DD1,DA,DC為相鄰的三條棱,作平行六面體ABCD-A1B1C1D1,已知點(diǎn)E在AA1上移動(dòng)
(1)當(dāng)E點(diǎn)為AA1的中點(diǎn)時(shí),以D為原點(diǎn),DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系如圖,通過(guò)
BE
C1E
=0
BE
B1E
=0
,證明BE⊥平面B1C1E.
(2)在CC1上求一點(diǎn)P,A1E=PC時(shí),有AD1∥BC1使得平面BC1E∥平面PAD1;
(Ⅲ)以D為原點(diǎn),DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系如圖,設(shè)E(1,0,m),求出平面C-ED1-D的法向量
n
=(2-m,2,1),
D
C
=(0,1,0),利用二面角C-ED1-D的大小為45°求出m值.
解答:精英家教網(wǎng)解:(Ⅰ)該三棱錐的直觀圖是有一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐,
如圖所示的三棱錐D1-ACD其中底面ACD是直角邊長(zhǎng)為1的直角三角形,高DD1=2,故所求的體積是V=
1
3
×12×2×
1
2
=
1
3
;
(Ⅱ)(1)當(dāng)E點(diǎn)為AA1的中點(diǎn)時(shí),以D為原點(diǎn),DA、DC、DD1所在精英家教網(wǎng)直線分別為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系如圖,則B(1,1,0),B1(1,1,2),C1(0,1,2),E(1,0,1)
BE
=(0,-1,1)
,
B1E
=(0,-1,-1)
,
C1E
=(-1,1,1)
BE
B1E
=0
,
BE
C1E
=0

所以BE⊥B1E且BE⊥C1E,所以BE⊥平面B1C1E.
(2)可知當(dāng)A1E=PC時(shí),有AD1∥BC1,BE∥PD1所以平面BC1E∥平面PAD1
注:也可以求兩個(gè)平面的法向量,說(shuō)明兩個(gè)法向量共線即可.
(Ⅲ)以D為原點(diǎn),DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系如圖精英家教網(wǎng)
設(shè)E(1,0,m)則D(0,0,0),C(0,1,0)D1(0,0,2)
C
E
=(1,-1,m),
CD1
=(0,-1,2)
設(shè)向量
n
=(x,y,z)滿足
n
CE
n
CD1

于是
x-y+mz=0
-y+2z=0
解得
x=(2-m)z
y=2z

取z=1得
n
=(2-m,2,1)
D
C
=(0,1,0)
(2-m,2,1)•(0,1,0)
(2-m)2+22+12
02+12+02
=
2
2

解得m=2±
3

因?yàn)閙<2所以m=2-
3

AE=2-
3
時(shí),二面角C-ED1-D的大小為45°.
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查三視圖的知識(shí),三視圖還原幾何體,直線與平面平行與垂直的證明,二面角的求法,考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,空間想象能力,計(jì)算能力.
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