Question

在數列．
（1）求證：數列{b_n}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設c_n=n•2ⁿ⁺¹•a_n，求數列{c_n}的前n項和．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證數列{b_n}是等差數列，只要是這個數列的后一項與前一項做差，證明差是一個定值，利用數列{a_n}的遞推式和兩個數列的關系式，根據首項和公差寫出通項，從而得到數列{a_n}的通項公式a_n．
（2）根據前面做出的數列的通項，寫出一個新數列c_n=n•2ⁿ⁺¹•a_n，要求數列的和，觀察數列的通項的結構特點，用錯位相減來求和，這是經�？嫉囊粋�求和方法．
解答：解：（1）證明：∵
=
∴數列{b_n}是等差數列
∵
∴b_n=2+（n-1）×2=2n
由
∴
（2）由（1）的結論得
∴S_n=2•2¹+3•2²+4•2³++（n+1）•2ⁿ①
2S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴++n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得-S_n=2•2¹+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹2
=2+2ⁿ⁺¹-2-（n+1）•2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹
點評：有關數列的試題經常是綜合題，經常把數列知識和指數函數、對數函數和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數列、等比數列，求極限和數學歸納法綜合在一起．