Question

已知函數(shù)f（x）滿足2f（x）+f（）=x
（1）求f（1）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若g（x）=3f（x）+，且g（x）在區(qū)間（0，2]上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令x=1得 2f（1）+f（1）=1，∴f（1）=．
（2）∵2f（x）+f（）=x，用 替換得 f（x）+2f（）=x，解得f（x）=．
（3）g（x）=3f（x）+==2x+，∴g′（x）=2-，
∵g（x）在區(qū)間（0，2]上為減函數(shù)，∴g′（x）≤0 在區(qū)間（0，2]上恒成立，即 2-≤0，
∴a≥2x²+1 而 x∈（0，2]，則 2x²+1∈（0，9]，∴a≥9，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為[0，9）．
分析：（1）令x=1得 2f（1）+f（1）=1，從而求得 f（1 ）的值．
（2）由2f（x）+f（）=x，用 替換得 f（x）+2f（）=x，解方程求得f（x） 的解析式．
（3）根據(jù)g（x）的解析式求出它的導(dǎo)數(shù)g′（x），由g′（x）≤0 在區(qū)間（0，2]上恒成立，即 2-≤0，
得到 a≥2x²+1，x∈（0，2]，從而得到2x²+1∈（0，9]，故a≥9．
點(diǎn)評：本題考查求函數(shù)的解析式的方法，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值，求得 a≥2x²+1 且 x∈（0，2]，
是解題的難點(diǎn)．