Question

冬天，潔白的雪花飄落時十分漂亮．為研究雪花的形狀，1904年，瑞典數(shù)學(xué)家科克（Koch Heige Von）把雪花理想化，得到了雪花曲線，也叫科克曲線．它的形成過程如下：
（i）將正三角形（圖①）的每邊三等分，并以中間的那一條線段為一底邊向形外作等邊三角形，然后去掉底邊，得到圖②；
（ii）將圖②的每邊三等分，重復(fù)上述作圖方法，得到圖③；
（iii）再按上述方法無限多次繼續(xù)作下去，所得到的曲線就是雪花曲線．
將圖①、圖②、圖③…中的圖形依次記作M₁、M₂、…、M_n…設(shè)M₁的邊長為1．
求：（1）M_n的邊數(shù)a_n；
    （2）M_n的邊長L_n；
    （3）M_n的面積S_n的極限．

Answer 1

分析：（1）由題知：a_n遞推公式為

an=4an-1，n≥2 a1=3

，從而可知{a_n}為等比數(shù)列，故可求通項公式
（2）由題知：每個圖形的邊長都相等，且長度變?yōu)樵瓉淼?span id="jnltjhr" class="MathJye">

1

3

，從而邊長b_n的遞推公式為

bn= 1 3 bn-1，n≥2 b1=1

，故可求）M_n的邊數(shù)L_n；
（3）當(dāng)由M_n-1生成M_n時，每條邊上多了一個面積為

3

4

b

2 n

的小等邊三角形，共有a_n-1個．從而可求M_n的面積S_n，進(jìn)而可求極限．

解答：解：（1）由題知：a_n遞推公式為

an=4an-1，n≥2 a1=3

所以{a_n}為等比數(shù)列，其通項公式為a_n=3•4^n-1   
（2）由題知：每個圖形的邊長都相等，且長度變?yōu)樵瓉淼?span id="flddh37" class="MathJye">

1

3

，
所以邊長b_n的遞推公式為

bn= 1 3 bn-1，n≥2 b1=1

∴Ln=3•(

4

3

)n-1
（3）當(dāng)由M_n-1生成M_n時，每條邊上多了一個面積為

3

4

b

2 n

的小等邊三角形，共有a_n-1個．
∴Sn=Sn-1+

3

4

an-1

b

2 n

∵S1=

3

4

∴Sn=

3

4

×

3

4

(

4

3

+

4

9

+…+(

4

9

)n-1
∴Sn=

2 3

5

-

3 3

20

(

4

9

)n-1
∴M_n的面積S_n的極限為

2 3

5

點(diǎn)評：本題以實際問題為載體，考查數(shù)列模型的構(gòu)建，考查數(shù)列的極限，有一定的綜合性．