Question

已知m∈R，設P：x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的兩個實根，不等式｜m²-5m-3｜≥｜x₁-x₂｜的任意實數a∈［-1，1］恒成立；Q：函數f（x）=x³+mx²+（m+）x+6在（-∞，+∞）上有極值；求使P正確且Q正確的m的取值范圍。

Answer 1

解：（1）由題設是方程的兩個實根，
得，
所以，，
當a∈［-1，1］時，的最大值為9，即；
由題意，不等式對任意實數a∈［-1，1］恒成立的m的解集
等于不等式的解集，
由此不等式得
不等式①的解為，不等式②的解為，
因此，當時，P是正確的；
（2）對函數求導，
令f′（x）=0，即，
此一元二次方程的判別式，
若△=0，則f′（x）=0有兩個相等的實根x₀，且f′（x）的符號如下：

因此，f（x₀）不是函數f（x）的極值；
若△＞0，則f′（x）=0有兩個不相等的實根的符號如下：

因此，函數f（x）在x=x₁處取得極大值，在x=x₂處取得極小值；
綜上所述，當且僅當△＞0時，f（x）在（-∞，+∞）上有極值，
由得m＜-1或m＞4，
因此，當m＜-1或m＞4時，Q是正確的；
綜上，使P正確且Q正確時，實數m的取值范圍為。