Question

已知點(diǎn)P是圓O：x²+y²=3上動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線與x軸相交于點(diǎn)Q，直線OP與直線x=1相交于點(diǎn)N，若動(dòng)點(diǎn)M滿足：，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若過點(diǎn)F（2，0）的動(dòng)直線與曲線C相交于不在坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)A，B，設(shè)，問在x軸上是否存在定點(diǎn)E，使得？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），進(jìn)而可得直線PQ和OP的方程，求得Q和N的坐標(biāo)，進(jìn)而可x和y分別表示出x和y，代入圓方程即可得到曲線C的方程．
（2）設(shè)存在定點(diǎn)E（t，0）使得，設(shè)直線AB的方程為：x=my+2（m≠0），點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）用A，B的坐標(biāo)分別表示出，代入，可求得λ的表達(dá)式，和聯(lián)立方程消去x，利用韋達(dá)定理求得y₁+y₂和y₁y₂，代入（1）式進(jìn)而求得t，確定E的坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則x²+y²=3，
直線PQ的方程為：xx+yy=3，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
直線OP的方程為：，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為，
因此：，
即：，
所以曲線C的方程為：
，
即；
（2）設(shè)存在定點(diǎn)E（t，0）使得，
設(shè)直線AB的方程為：x=my+2（m≠0），點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由得到-y₁=λy₂，
即，
，得到：，
即：（my₁+2-t）y₂+y₁（my₂+2-t）=0，
即2my₁y₂+（2-t）（y₁+y₂）=0（1）
由方程組：
得到：（my+2）²-3y²=3，
即（m²-3）y²+4my+1=0，
所以：m²-3≠0，且，
代入（1）式得到：，
要對滿足（m≠0）且m²-3≠0的實(shí)數(shù)m恒成立，
只需要2+（t-2）×4=0，即，
所以存在定點(diǎn)使得．
點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線與直線的綜合問題．當(dāng)求直線與雙曲線的關(guān)系時(shí)常需要聯(lián)立方程消元后根據(jù)韋達(dá)定理找到解決問題的突破口．