分析 設(shè)橢圓的標準方程為:x2a2+y22=1(a>b>0).F(-c,0).設(shè)PQ的方程為:my=x+c.P(x1,y1),Q(x2,y2),不妨設(shè)y1>y2.與橢圓方程聯(lián)立化為(b2m2+a2)y2-2mcb2y-b4=0.直線A2P的方程為:y=y1x1−a(x−a),直線A1Q的方程為:y=y2x2+a(x+a),聯(lián)立解得x=a[2my1y2−c(y1+y2)+a(y1−y2)]−c(y1−y2)+a(y1+y2),利用根與系數(shù)的關(guān)系可得:y1-y2=√(y1+y2)2−4y1y2.可得x=−a2c.即直線A2P與直線A1Q的交點N在橢圓的左準線l:x=-a2c上.同理可得:A1P和A2Q交于點M也在橢圓的左準線l:x=-a2c上.下面證明:→MF⊥→NF.利用→MF•→NF=0即可.
解答 證明:設(shè)橢圓的標準方程為:x2a2+y22=1(a>b>0).F(-c,0).
設(shè)PQ的方程為:my=x+c.P(x1,y1),Q(x2,y2),不妨設(shè)y1>y2.
聯(lián)立{my=x+cx2a2+y22=1,化為(b2m2+a2)y2-2mcb2y-b4=0.
∴y1+y2=2mc22m2+a2,y1y2=−42m2+a2.
直線A2P的方程為:y=y1x1−a(x−a),
直線A1Q的方程為:y=y2x2+a(x+a),
聯(lián)立解得x=a[y1x2+y2x1+a(y1−y2)]y1x2−y2x1+a(y1+y2)=a[2my1y2−c(y1+y2)+a(y1−y2)]−c(y1−y2)+a(y1+y2),
y1-y2=√(y1+y2)2−4y1y2=2a2√1+m22m2+a2.
分子u=a[−2mb42m2+a2−2mc222m2+a2+2a22√m2+12m2+a2],
分母v=-2ac2√m2+12m2+a2+2mca22m2+a2.
∴x=uv=−a2c.
∴直線A2P與直線A1Q的交點N在橢圓的左準線l:x=-a2c上.
同理可得:A1P和A2Q交于點M也在橢圓的左準線l:x=-a2c上.
下面證明:→MF⊥→NF.
y21=2(1−x21a2)=2(a2−x21)a2.
→MF•→NF=(a2c−c)2+yMyN
=4c2+y21x21−a2(a4c2−a2)
=4c2-2a2×a22c2=0.
∴→MF⊥→NF.
∴MF⊥NF.
點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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