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20.過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點,A1P和A2Q交于點M,A2P和A1Q交于點N,則MF⊥NF.

分析 設(shè)橢圓的標準方程為:x2a2+y22=1(a>b>0).F(-c,0).設(shè)PQ的方程為:my=x+c.P(x1,y1),Q(x2,y2),不妨設(shè)y1>y2.與橢圓方程聯(lián)立化為(b2m2+a2)y2-2mcb2y-b4=0.直線A2P的方程為:y=y1x1axa,直線A1Q的方程為:y=y2x2+ax+a,聯(lián)立解得x=a[2my1y2cy1+y2+ay1y2]cy1y2+ay1+y2,利用根與系數(shù)的關(guān)系可得:y1-y2=y1+y224y1y2.可得x=a2c.即直線A2P與直線A1Q的交點N在橢圓的左準線l:x=-a2c上.同理可得:A1P和A2Q交于點M也在橢圓的左準線l:x=-a2c上.下面證明:MFNF.利用MFNF=0即可.

解答 證明:設(shè)橢圓的標準方程為:x2a2+y22=1(a>b>0).F(-c,0).
設(shè)PQ的方程為:my=x+c.P(x1,y1),Q(x2,y2),不妨設(shè)y1>y2
聯(lián)立{my=x+cx2a2+y22=1,化為(b2m2+a2)y2-2mcb2y-b4=0.
∴y1+y2=2mc22m2+a2,y1y2=42m2+a2
直線A2P的方程為:y=y1x1axa,
直線A1Q的方程為:y=y2x2+ax+a
聯(lián)立解得x=a[y1x2+y2x1+ay1y2]y1x2y2x1+ay1+y2=a[2my1y2cy1+y2+ay1y2]cy1y2+ay1+y2,
y1-y2=y1+y224y1y2=2a21+m22m2+a2
分子u=a[2mb42m2+a22mc222m2+a2+2a22m2+12m2+a2],
分母v=-2ac2m2+12m2+a2+2mca22m2+a2
∴x=uv=a2c
∴直線A2P與直線A1Q的交點N在橢圓的左準線l:x=-a2c上.
同理可得:A1P和A2Q交于點M也在橢圓的左準線l:x=-a2c上.
下面證明:MFNF
y21=21x21a2=2a2x21a2
MFNF=a2cc2+yMyN
=4c2+y21x21a2a4c2a2
=4c2-2a2×a22c2=0.
MFNF
∴MF⊥NF.

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

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