Question

如圖，在四棱錐中，底面，是直角梯形，，，是的中點。

（1）求證：平面平面（4分）

（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．（8分）

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）直線PA與平面EAC所成角的正弦值為．  

【解析】（1）先由線線垂直證明線面垂直，然后再證明面面垂直；（2）建立空間直角坐標系，然后利用直線的方向向量與平面的法向量的夾角與線面角互余求解

（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，ACÌ平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB＝2，AD＝CD＝2，∴AC＝BC＝，

∴AC²＋BC²＝AB²，∴AC⊥BC，又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，∵ACÌ平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC． 

（Ⅱ）如圖，以C為原點，、、分別為x軸、y軸、z軸正向，建立空間直角坐標系，則C(0，0，0)，A(1，1，0)，B(1，－1，0)．設P(0，0，a)（a＞0），

則E(，－，)，        ＝(1，1，0)，＝(0，0，a)，

＝(，－，)，取m＝(1，－1，0)，則m·＝m·＝0，m為面PAC的法向量．設n＝(x，y，z)為面EAC的法向量，則n·＝n·=0，

即取x＝a，y＝－a，z＝－2，則n＝(a，－a，－2)，

依題意，|cosám，nñ|＝，則a＝2．…10分

于是n＝(2，－2，－2)，＝(1，1，－2)．

設直線PA與平面EAC所成角為θ，則sinθ＝|cosá，nñ|＝，

即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為