Question

)如圖所示，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于點D，AD＝1，CD＝3，PD＝.
 
(1)證明：△PBC為直角三角形；
(2)求直線AP與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

（1）見解析（2）

(1)證明：取AC中點E，聯(lián)結BE，以點E為坐標原點，以EB，EC所在的直線分別為x軸，y軸建立如圖所示的空間直角坐標系E－xyz，則B(，0，0)，C(0，2，0)，P(0，－1，)．
于是＝(－，－1，)，＝(－，2，0)．
因為·＝(－，－1，)·(－，2，0)＝0，所以⊥，
所以BP⊥BC，所以△PBC為直角三角形．

(2)由(1)可得，A(0，－2，0)．
于是＝(0，1，)，＝(，1，－)，＝(0，3，－)．
設平面PBC的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
取y＝1，則z＝，x＝.
所以平面PBC的一個法向量為n＝(，1，)．
設直線AP與平面PBC所成的角為θ，
則sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，
所以直線AP與平面PBC所成角的正弦值為.