Question

已知函數(shù)f(x)=

1

1+x2

．
（1）求證：函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)．
（2）求函數(shù)f(x)=

1

1+x2

在[-3，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）利用定義函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)即可；
（2）利用奇偶性的定義，求出函數(shù)的奇偶性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得結(jié)果．

解答：（1）證明：設(shè)x₁＜x₂≤0，則f(

x

1

)-f(x2)=

(x2+x1)(x2-x1)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

因x₁＜x₂＜0，有x₁+x₂＜0，x₂-x₁＞0，又（1+x₁²）（1+x₂²）＞0
所以

(x2+x1)(x2-x1)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

＜0，得f（x₁）-f（x₂）＜0
故f（x）為（-∞，0]上的增函數(shù)．
（2）解：因為函數(shù)f（x）定義域為R，且f（-x）=f（x），
所以函數(shù)f（x）為偶函數(shù)
又f（x）在（-∞，0]上為增函數(shù)，
所以f（x）在[0，+∞）上為減函數(shù)
所以函數(shù)的最大值為f（0）=1．
又當(dāng)x=-3時，f(-3)=

1

10

，當(dāng)x=2時，f(2)=

1

5

，
故函數(shù)的最小值為f(-3)=

1

10

．

點評：本題是對函數(shù)的最值以及函數(shù)單調(diào)性的證明的綜合考查．在證明一個函數(shù)的單調(diào)性時，一定要按取點，作差或作商，變形，判斷．的過程一步一步的向下進行．考查運算能力，屬中檔題．