Question

（2012•道里區(qū)二模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為

x=3- 2 2 t y= 5 + 2 2 t

（t為參數(shù)）．在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=2

5

sinθ．
（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，

5

），求|PA|+|PB|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把ρ=2

5

sinθ兩邊同時(shí)乘以ρ，把 x=ρcosθ，y=ρsinθ 代入可得圓C的直角坐標(biāo)方程．
 （Ⅱ）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得 t²-3

2

t+4=0，根據(jù)直線l的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=t₁+t₂，再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）由ρ=2

5

sinθ 得 x²+y²-2

5

y=0 即 x²+(y-

5

)2=5．
（Ⅱ）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得 (3-

2

2

t)2+(

2

2

t)2=5，即 t²-3

2

t+4=0．
由于△=(3

2

)2-4×4=2＞0，故可設(shè) t₁、t₂是上述方程的兩實(shí)根，所以

t1+t 2=3 2 t1•t2=4

．
直線l過(guò)點(diǎn)P（3，

5

），故由上式及t的幾何意義得：|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=t₁+t₂=3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線的參數(shù)方程、圓的極坐標(biāo)方程、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力．