Question

已知二次函數f(x)對任意實數t滿足關f(2+t)=f(2-t).且f(x)有最小值-9.又知函數f(x)的圖象與x軸有兩個交點，它們之間距離為6，求函數f(x)的解析式.

Answer 1

解法一：（待定系數法之一般解析式）設f(x)=ax²+bx+c(a≠0),

∵f(2+t)=f(2-t)，

∴函數圖象的對稱軸為x=2.

∴-=2.          ①

又∵f(x)有最小值為-9，

則=-9.          ②

又∵f(x)的圖象與x軸兩交點距離為6，則6=|x₁-x₂|=,             ③

聯(lián)立①②③解方程組得a=1,b=-4,c=-5.

∴f(x)=x²-4x-5.

解法二：（待定系數法之頂點式）設f(x)=a(x-2)²-9.由于只含有一個待定系數a，因此會大大縮短解題過程，應視為一個較優(yōu)方案.

展開化簡得f(x)=ax²-4ax+4a-9，

于是x₁+x₂=4，x₁x₂=4a-9.

由③得6=，解得a=1，因此f(x)=x²-4x-5.

解法三：（待定系數法之標根式）∵函數圖象與x軸交于A(x₁,0),B(x₂,0)兩點，且又知x=2為其對稱軸，有|AB|=6，故知x₁=2-3=-1，x₂=2+3=5，于是可設f(x)=a(x+1)(x-5)，從二次函數圖象性質知x=2時，f(x)_min=-9，故f(2)=a(2+1)(2-5)=-9,解得a=1.因此f(x)=x²-4x-5.