如圖,四棱錐P­ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD
(1)證明:PABD;(2)設PDAD,求二面角APBC的余弦值.  

(1)只需證明BD2AD2AB2;(2)

解析試題分析:(1)因為∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得.
從而BD2AD2AB2,故BDAD
PD⊥底面ABCD,可得BDPD
所以BD⊥平面PAD.PABD.   6分
(2)如圖,以D為坐標原點,AD的長為單位長,射線DAx軸的正半軸建立空間直角坐標系Dxyz.則A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,,0),P(0,0,1).

=(-1,,0),=(0,,-1),=(-1,0,0).
設平面PAB的法向量為n=(x,y,z),則

因此可取n=(,1,).
設平面PBC的法向量為m,則
可取m=(0,-1,-),.
故二面角A­PB­C的余弦值為.           6分
考點:線面垂直的判定定理;線面垂直的性質(zhì)定理;二面角。
點評:二面角的求法是立體幾何中的一個難點。我們解決此類問題常用的方法有兩種:①綜合法,綜合法的一般步驟是:一作二說三求。②向量法,運用向量法求二面角應注意的是計算。很多同學都會應用向量法求二面角,但結(jié)果往往求不對,出現(xiàn)的問題就是計算錯誤。

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知直角梯形中,,,是等邊三角形,平面⊥平面.

(1)求二面角的余弦值;
(2)求到平面的距離.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖所示,在四面體中,,兩兩互相垂直,且

(1)求證:平面平面;
(2)求二面角的大。
(3)若直線與平面所成的角為,求線段的長度.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖甲,設正方形的邊長為,點分別在上,并且滿足
,如圖乙,將直角梯形沿折到的位置,使點
平面上的射影恰好在上.

(1)證明:平面;
(2)求平面與平面所成二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題


AB為圓O的直徑,點E、F在圓上,AB//EF,矩形ABCD所在平面與圓O所在平面互相垂直,已知AB=2,BC=EF=1。

(I)求證:BF⊥平面DAF;
(II)求ABCD與平面CDEF所成銳二面角的某三角函數(shù)值;
(III)求多面體ABCDFE的體積。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,已知為平行四邊形,,,點上,,,相交于.現(xiàn)將四邊形沿折起,使點在平面上的射影恰在直線上.

(Ⅰ) 求證:平面
(Ⅱ) 求折后直線與平面所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,為圓的直徑,點在圓上,,矩形所在的平面與圓所在的平面互相垂直.已知,

(Ⅰ)求證:平面平面
(Ⅱ)求直線與平面所成角的大。
(Ⅲ)當的長為何值時,平面與平面所成的銳二面角的大小為?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,是以為直徑的半圓上異于、的點,矩形所在的平面垂直于該半圓所在的平面,且

(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)設平面與半圓弧的另一個交點為
①試證:
②若,求三棱錐的體積.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

如圖,在四棱錐中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F分別是AP、AD的中點.

求證:(1)直線EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD

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