Question

如圖，橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，其左焦點到點P（2，1）的距離為，不過原點O的直線l與C相交于A，B兩點，且線段AB被直線OP平分．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求△APB面積取最大值時直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意，根據離心率為，其左焦點到點P（2，1）的距離為，建立方程，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點為M，當AB⊥x軸時，直線AB的方程為x=0，與不過原點的條件不符，故設AB的方程為y=kx+m（m≠0）由，消元再利用韋達定理求得線段AB的中點M，根據M在直線OP上，可求|AB|，P到直線AB的距離，即可求得△APB面積，從而問題得解．
解答：解：（Ⅰ）由題意，解得：．
∴所求橢圓C的方程為：．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點為M
當AB⊥x軸時，直線AB的方程為x=0，與不過原點的條件不符，故設AB的方程為y=kx+m（m≠0）
由，消元可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0①
∴，
∴線段AB的中點M
∵M在直線OP上，∴
∴k=-
故①變?yōu)?x²-3mx+m²-3=0，又直線與橢圓相交，
∴△＞0，x₁+x₂=m，
∴|AB|=
P到直線AB的距離d=
∴△APB面積S=（m∈（-2，0）
令u（m）=（12-m²）（m-4）²，則
∴m=1-，u（m）取到最大值
∴m=1-時，S取到最大值
綜上，所求直線的方程為：
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查導數知識的運用，屬于中檔題．