Question

已知函數(shù)f(x)=

cx-1

x+1

（c為常數(shù)）．
（1）若1為函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，求c的值；
（2）在（1）的條件下且a+b=0，求f（4^a）+f（4^b）的值；
（3）若函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值為3，求c的值．

Answer 1

分析：（1）由零點(diǎn)定義得f（1）=0，解出即可；
（2）由（1）寫出f（x）表達(dá)式，代入計(jì)算可得f（4^a）+f（4^b）的值；
（3）先利用函數(shù)單調(diào)性定義判斷f（x）在[0，2]上的單調(diào)性，然后由單調(diào)性得到最大值，令其等于3，解出可得c值，注意單調(diào)性的判斷要進(jìn)行分類討論；

解答：解：（1）∵1為f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，
∴f（1）=0，解得c=1．
（2）由（1）知：f(x)=

x-1

x+1

，
所以f(4a)+f(4b)=

4a-1

4a+1

+

4b-1

4b+1

=

2•4a+b-2

(4a+1)•(4b+1)

=0．
（3）先證f（x）的單調(diào)性．
設(shè)0≤x₁＜x₂≤2，則f(x2)-f(x1)=

cx2-1

x2+1

-

cx1-1

x1+1

=

(x2-x1)•(c+1)

(x2+1)•(x1+1)

．
∵0≤x₁＜x₂≤2，∴當(dāng)c＞-1時(shí)，f（x₂）＞f（x₁），即函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，
所以f（x）_max=f（2）=3，即

2c-1

2+1

=3，解得c=5；
當(dāng)c=-1時(shí)，f（x₁）=f（x₂），即f（x）在[0，2]上是常函數(shù)，
所以f（x）=-1，不合題意；
當(dāng)c＜-1時(shí)，f（x₁）＜f（x₂），即函數(shù)f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，
所以f（x）_max=f（0）=3，即-1=3，顯然不成立，
綜上所述，c=5．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的單調(diào)性及閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查分類討論思想，屬中檔題．