Question

已知函數(shù)，（是不同時為零的常數(shù)），其導(dǎo)函數(shù)為。

（1）當(dāng)時，若存在，使成立，求的取值范圍；

（2）求證：函數(shù)在內(nèi)至少有一個零點；

（3）若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處的切線垂直于直線，關(guān)于的方程在上有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍。

Answer 1

（1）當(dāng)時，==，其對稱軸為直線，

當(dāng) 解得，當(dāng)無解，

所以的的取值范圍為．………………………………………………………4分

（2）因為，

法一：當(dāng)時，適合題意.…………………………………6分

當(dāng)時，，令，則，

令，因為，

當(dāng)時，，所以在內(nèi)有零點．

當(dāng)時，，所以在（內(nèi)有零點．

   因此，當(dāng)時，在內(nèi)至少有一個零點．

綜上可知，函數(shù)在內(nèi)至少有一個零點．…………………………………10分

法二：，，

由于不同時為零，所以，故結(jié)論成立．

 (3)因為=為奇函數(shù)，所以, 所以，

又在處的切線垂直于直線，所以，即．

因為，所以在上是増函數(shù)，在上是減函數(shù)，由解得，如圖所示，

當(dāng)時，，即，解得；

當(dāng)時， ，解得；

當(dāng)時，顯然不成立；

當(dāng)時，，即，解得；

當(dāng)時，，故．

所以所求的取值范圍是，或．

（以上各題如考生另有解法，請參照本評分標準給分）