Question

已知函數y=x+

m

x-1

（m為正數）．
（1）若m=1，求當x＞1時函數的最小值；
（2）當x＜1時，函數有最大值-3，求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）若m=1，求當x＞1時函數的最小值，由函數的形式可以看出，求最小值可用基本不等式求解；
（2）當x＜1時，函數有最大值-3，求實數m的值，在本題條件下，x-1＜0，仍可用基本不等式求最值，利用等號成立的條件求參數m的值．

解答：解：（1）m=1時，y=x+

1

x-1

=x-1+

1

x-1

+1．因為x＞1，所以x-1＞0．
所以y=x-1+

1

x-1

+1≥2+1=3．（3分）
當且僅當x-1=

1

x-1

，即x=2時取等號．（4分）
所以當x＞1時函數的最小值為3．（5分）

（2）因為x＜1，所以x-1＜0．
所以y=x-1+

m

x-1

+1=-（1-x+

m

1-x

）+1≤-2

m

+1．（7分）
當且僅當1-x=

m

1-x

，即x=1-

m

時取等號．（8分）
即函數的最大值為-2

m

+1．所以-2

m

+1=-3．（9分）
解得m=4．（10分）

點評：本題考查用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值要注意驗證等號成立的條件，免致出錯，本題中第二問利用等號成立的條件求參數，是基本不等式的一個比較重要的拓廣應用．