Question

設(shè)直線?與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，?又與雙曲線x²-y²=1相交于C、D兩點(diǎn)，C、D三等分線段AB．求直線?的方程．

Answer 1

【答案】分析：先看當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+b，l與橢圓、雙曲線的交點(diǎn)為：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）直線方程分別橢圓和雙曲線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₃+x₄的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)求得k=0或b=0，分別求得k=0時(shí)和b=0時(shí)直線方程；進(jìn)而看直線l與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為x=c，分別代入橢圓和雙曲線方程可求得交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)求得c，最后綜合可得答案．
解答：解：首先討論l不與x軸垂直時(shí)的情況，設(shè)直線l的方程為y=kx+b，如圖所示，

l與橢圓、雙曲線的交點(diǎn)為：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
依題意有，
由
∴

若k=±1，則與雙曲線最多只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，故k≠±1∴
由


故l的方程為
（ii）當(dāng)b=0時(shí)，由（1）得
由
故l的方程為
再討論l與x軸垂直的情況．
設(shè)直線l的方程為x=c，分別代入橢圓和雙曲線方程可解得，綜上所述，
故l的方程為、和
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)，應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍．