Question

已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x，g(x)=xlnx．

　　(1)求函數(shù)f(x)的最大值；

　　(2)設(shè)0＜a＜b，證明：0＜g(a)+g(b)-2g＜(b-a)ln₂．

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1，+∞) 　　f′(x)=-1 　　令f′(x)=0，解得x=0 　　當(dāng)-l＜x＜0時(shí)，f′(x)＞0 　　當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)＜0 　　又f(0)=0 　　故當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取得最大值，最大值為0． 　　(2)證法一： 　　g(a)+g(b)-2g 　　=alna+blnb-(a+b)ln 　　=aln+bln 　　由(1)結(jié)論知ln(1+x)-x＜0(x＞-1且x≠0) 　　由題設(shè)0＜a＜b 　　得＞0，-1＜＜0 　　∴　ln=-ln(1+)＞- 　　ln=-ln(1+)＞- 　　∴　aln+bln＞--=0 　　又＜ 　　∴　aln+bln＜aln+ bln 　　=(b-a)ln＜(b-a)ln2 　　綜上，0＜g(a)+g(b)-2g()＜(b-a)ln2 　　證法二：g(x)=xlnx，g′(x)=lnx+1 　　設(shè)F(x)=g(a)+g(x)-2g() 　　則F′(x)=g′(x)-2[g()]′ 　　　　　 =lnx-ln 　　當(dāng)0＜x＜a時(shí)，F′(x)＜0 　　因此F(x)在(0，a)內(nèi)為減函數(shù) 　　當(dāng)x＞a時(shí)，F′(x)＞0 　　因此F(x)在(a，+∞)上為增函數(shù) 　　從而，當(dāng)x=a時(shí)，F(x)有極小值F(a) 　　因?yàn)?i>F(a)=0，b＞a，所以F(b)＞0 　　即0＜g(a)+g(b)-2g() 　　設(shè)G(x)=F(x)-(x-a)ln2 　　則G′(x)=lnx-ln-ln2=lnx-ln(a+x) 　　當(dāng)x＞0時(shí)，G′(x)＜0 　　因此G(x)在(0，+∞)上為減函數(shù) 　　因?yàn)?i>G(a)=0，b＞a，所以G(b)＜0 　　即g(a)+g(b)-2g()＜(b-a)ln2．