Question

【示范高中】已知函數f（x）=log_a（x²-2ax+3）（a＞0且a≠1），滿足對任意實數x₁，x₂，當x₁＜x₂≤a 時，總有f（x₁）-f（x₂）＞0，則實數a的取值范圍是（　　）

• A．（1，3）
• B．（0，

  3

  ）
• C．（1，

  3

  ）
• D．（0，1）

Answer 1

分析：令g（x）=x²-2ax+3配方后，由二次函數的單調性判斷出此函數的單調區(qū)間，再由條件判斷出f（x）在（-∞，a）上遞減，再由復合函數的單調性求出a的范圍，由真數大于零恒成立，求出g（x）的最小值，列出不等式求出a的范圍，再由a的兩個范圍求交集即可．

解答：解：令g（x）=x²-2ax+3=（x-a）²-a²+3，
∴g（x）在（-∞，a）上遞減，在（a，+∞）上遞增，
∵對任意實數x₁，x₂，當x₁＜x₂≤a 時，總有f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，a）上遞減，則a＞1，
由x²-2ax+3＞0恒成立得，g（x）的最小值-a²+3＞0即可，
解得

3

＜a＜

3

，
∴1＜a＜

3

，
故選C．

點評：本題考查了對數函數和二次函數的性質的綜合應用，復合函數的單調性判斷，以及恒成立問題轉化為求函數的最值問題，屬于中檔題．