已知，函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，試證明：“方程有唯一解”的充要條件是“”。

 

【答案】

解：（Ⅰ）

當(dāng)時(shí)，，∴單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，，∴單調(diào)遞減區(qū)間為；

（Ⅱ）記，

⑴充分性：若，則，

當(dāng)時(shí)，在（0，1）上是單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)．

∴當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

∴方程有唯一解．

⑵必要性：若方程有唯一解，即有唯一解．

令，得

∵∴（舍去），

當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)遞增函數(shù)．

∴當(dāng)時(shí)，

∵有唯一解，∴．則即

∴，∵，∴

設(shè)函數(shù)∵在時(shí)是增函數(shù)，∴至多有一解．

∵，∴方程（*）的解為，即，解得

由⑴、⑵知，“方程有唯一解”的充要條件是“”

【解析】略

 

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