Question

求“方程（

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）^x+（

4

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）^x=1的解”有如下解題思路：設(shè)f（x）=（

3

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）^x+（

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）^x，則f（x）在R上單調(diào)遞減，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．類比上述解題思路求解：已知函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意x∈R，有f'（x）＞3x²，且f（1）=2，則方程f（x）=x³+1的解集為

 

．

Answer 1

考點：類比推理

專題：計算題,推理和證明

分析：類比求“方程（

3

5

）^x+（

4

5

）^x=1的解的解題思路，設(shè)g（x）=f（x）-x³，利用導(dǎo)數(shù)研究g（x）在R上單調(diào)遞增，從而可解方程f（x）=x³+1．

解答： 解：令g（x）=f（x）-x³，
∵對任意x∈R，有f'（x）＞3x²，
∴f'（x）-3x²，＞0，
∴g′（x）＞0，
∴g（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)，
∵f（1）=2，
∴g（1）=f（1）-1=1，
∴g（x）=1的解集為{1}，即方程f（x）=x³+1的解集為{1}．
故答案為：{1}．

點評：本題主要考查了類比推理，考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．