Question

已知f（x）=（2cos+2sin）cos．
（I）求f（）的值；
（II）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c若f（c）=+1，且b²=ac，求sinA的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用多項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的法則將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，然后利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的余弦函數(shù)，將x=代入化簡(jiǎn)后的式子中計(jì)算，即可得到所求的函數(shù)值；
（II）由第一問求出的函數(shù)解析式及f（C）=+1，求出cos（C-）的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C為直角，得到三角形ABC為直角三角形，利用勾股定理得到c²=a²+b²，再將b²=ac代入，整理后得到關(guān)于的芙蓉城，求出方程的解得到的值，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出sinA的值．
解答：解：（I）f（x）=（2cos+2sin）cos
=2cos²+2sincos
=（1+cosx）+sinx
=cosx+sinx+
=2cos（x-）+，
則f（）=2cos（-）+=2cos+=-；
（II）∵f（C）=+1，
∴2cos（C-）+=+1，即cos（C-）=，
又C為三角形的內(nèi)角，
∴C=，又b²=ac，
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：c²=a²+b²=a²+ac，
∴（）²+-1=0，
解得：=，
∵0＜sinA＜1，
∴sinA==．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，勾股定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．