Question

某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，右圖（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺繡最簡單的四個(gè)圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡（小正方形的擺放規(guī)律相同），設(shè)第n個(gè)圖形包含f（n）個(gè)小正方形．
（1）求出f（5）；
（2）利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f（n+1）與f（n）的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求f（n）的表達(dá)式；
（3）求+++…+的值．

Answer 1

解：（1）∵f（1）=1，
f（2）=1+4=5，
f（3）=1+4+8=13，
f（4）=1+4+8+12=25，
∴f（5）=1+4+8+12+16=41．
（2）∵f（2）﹣f（1）=4=4×1，
f（3）﹣f（2）=8=4×2，
f（4）﹣f（3）=12=4×3，
f（5）﹣f（4）=16=4×4，
由上式規(guī)律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．
∴f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）， f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4（n﹣2）， f（n﹣2）﹣f（n﹣3）=4（n﹣3）， … f（2）﹣f（1）=4×1，
∴f（n）﹣f（1）=4[（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1] =2（n﹣1）n，
∴f（n）=2n²﹣2n+1．
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，==（﹣），
∴+++…+
=1+（1﹣+﹣+…+﹣）
=1+（1﹣）=﹣．