Question

已知點A（2，0），⊙B：（x+2）²+y²=36．P為⊙B上的動點，線段BP上的點M滿足|MP|=|MA|．
（Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點B（-2，0）的直線l與軌跡C交于S、T兩點，且，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意有可得|MA|+|MB|=6，故點M的軌跡是以A、B 為焦點的橢圓，根據(jù)橢圓的定義可得a=3，
c=2，可得b=，故軌跡C的方程為  =1．
 （Ⅱ） 設(shè)l的方程為y=k（x+2），代入得，（5+9k²）x²+36k²x+36k²-45=0．可得
，由 ，可得 （-2-x₁，0-y₁）=2（x₂+2，y₂） ①，
由此求出斜率k的值，即得l的方程．
解答：解：（Ⅰ）由題意有可得|MA|+|MB|=|MP|+|MB|=6＞|AB|，故點M的軌跡是以A、B 為焦點的橢圓，
a=3，c=2，∴b=，故軌跡C的方程為  =1．
（Ⅱ） 顯然直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為y=k（x+2），代入得，
（5+9k²）x²+36k²x+36k²-45=0．∵l過焦點，∴△＞0顯然成立．
設(shè)s（x₁，y₁），T（x₂，y₂），∵，∴（-2-x₁，0-y₁）=2（x₂+2，y₂） ①，
且，由①②解得代入③
整理得：k²=3，∴，∴l(xiāng)的方程為．
點評：本題考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，兩個向量坐標(biāo)形式的運算，求出
，是解題的難點．