Question

（2012•江西模擬）已知數(shù)列{a_n}中，a1=2，an+1=

2

an+1

，設(shè)bn=|

an-1

an+2

|，n∈N^*
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，求證：bnSn≤

1

16

（n∈N^*）
（3）令cn=

1

bnSn

，若數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)的和為T(mén)_n，求證：Tn≤

16

3

(4n-1)（n∈N^*）

Answer 1

分析：（1）由an+1=

2

an+1

，bn=|

an-1

an+2

|，知b_n+1=|

an+1-1

an+1+2

|=|

2 an+1 -1

2 an+1 +2

|=

1

2

|

an-1

an+2

|，由此能推導(dǎo)出bn=(

1

2

)n+1．
（2）由b1=

1

4

，q=

1

2

，知Sn=

1 4 (1- 1 2 n )

1- 1 2

=

1

2

(1-

1

2 n

)，由此能證明bnSn≤

1

16

（n∈N^*）．
（3）由bnSn≤

1

16

（n∈N^*），知cn=

1

bnSn

≤(

1

bn

)2≤4n+1，由此能夠證明Tn≤

16

3

(4n-1)．

解答：解：（1）∵an+1=

2

an+1

，bn=|

an-1

an+2

|，
∴b_n+1=|

an+1-1

an+1+2

|
=|

2 an+1 -1

2 an+1 +2

|
=|

2-an-1

2+2an+2

|
=

1

2

|

an-1

an+2

|，
∴bn+1=

1

2

bn，
∵a₁=2，∴b1=|

2-1

2+2

| =

1

4

，
故{b_n}是首項(xiàng)為

1

4

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
∴bn=(

1

2

)n+1．
（2）∵{b_n}是首項(xiàng)為

1

4

，公比為

1

2

的等比數(shù)列，
即b1=

1

4

，q=

1

2

，
∴Sn=

1 4 (1- 1 2 n )

1- 1 2

=

1

2

(1-

1

2 n

)，
∴b_nS_n=(

1

2

)n+1•

1

2

(1-

1

2 n

)=

1

4

[1-(

1

2

)n]•(

1

2

)n≤

1

16

．
（3）∵bnSn≤

1

16

（n∈N^*），
∴cn=

1

bnSn

≤(

1

bn

)2≤4n+1，
∴Tn≤

16

3

(4n-1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列、不等式知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．