分析 (1)利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義即可得出.
(2)利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出.
解答 (1)證明:∵an+Sn=2n+1,令n=1,
得2a1=3,${a_1}=\frac{3}{2}$,∵an+Sn=2n+1,∴an-1+Sn-1=2(n-1)+1,(n≥2,n∈N*),
兩式相減,得2an-an-1=2,整理${a_n}=\frac{1}{2}{a_{n-1}}+1$,${a_n}-2=\frac{1}{2}({a_{n-1}}-2),({n≥2})$,
∴數(shù)列{an-2}是首項為${a_1}-2=-\frac{1}{2}$,公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列,
∴${a_n}-2=-{({\frac{1}{2}})^n}$,∴${a_n}=2-\frac{1}{2^n}$.
(2)解:設(shè)數(shù)列{n(an-2)}的前n項和為Tn,
則$-{T_n}=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-1}}}}+\frac{n}{2^n}$①,
∴$-2{T_n}=1+\frac{2}{2}+\frac{3}{2^2}+…+\frac{n-1}{{{2^{n-2}}}}+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$②,
②-①得$-{T_n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}$,
即$-{T_n}=\frac{{1-\frac{1}{2^n}}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}$,∴${T_n}=\frac{n+2}{2^n}-2$.
點評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的定義通項公式及其求和公式、“錯位相減法”,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
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A. | 15 | B. | 20 | C. | 25 | D. | 30 |
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A. | f(x)=x,$g(x)=\sqrt{x^2}$ | B. | f(x)=x與g(x)=$\root{3}{x^3}$ | ||
C. | f(x)=1,g(x)=x0 | D. | $f(x)=\frac{{{x^2}-9}}{x+3}$,g(x)=x-3 |
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A. | -1或-2 | B. | -1 | C. | -2 | D. | 1 |
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