已知a、b是不共線的向量，
AB
=λa+b，
AC
=a+μb（λ，μ∈R），則A、B、C三點共線的充要條件是
 
．
分析：先求A、B、C三點共線的充要條件，我們要先根據(jù)已知條件a、b是不共線的向量，
AB
=λa+b，
AC
=a+μb（λ，μ∈R），判斷λ與μ滿足的關系；并以此關系為已知條件，看能不能反推回來得到A、B、C三點共線．如果兩個過程都是可以的，該關系式即為所求．
解答：解：由于
AB
，
AC
有公共點A，
∴若A、B、C三點共線
則
AB
與
AC
共線
即存在一個實數(shù)t，使
AB
=t
AC

即
λ=at
1=μt

消去參數(shù)t得：λμ=1
反之，當λμ=1時
AB
=
1
μ
a+b
此時存在實數(shù)
1
μ
使
AB
=
1
μ
AC

故
AB
與
AC
共線
又由
AB
，
AC
有公共點A，
∴A、B、C三點共線
故A、B、C三點共線的充要條件是λμ=1
點評：判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
、
b
是不共線的向量，
AB
=λ
a
+
b
，
AC
=
a
+μ
b
（λ，μ∈R），那么A、B、C三點共線的充要條件為（　　）
A、λ+μ=1B、λ-μ=1
C、λμ=-1D、λμ=1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
，
b
是不共線的向量，若
AB
=λ1
a
+
b
，
AC
=
a
+λ2
b
(λ1，λ2∈R)，則A、B、C三點共線的充要條件為（　�。�
A、λ1=λ2=-1
B、λ1=λ2=1
C、λ1λ2-1=0
D、λ1•λ2+1=1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
、
b
是不共線的向量，且
a
=（5cosα，5sinα），
b
=（5cosβ，5sinβ）
（1）求證：
a
+
b
與
a
-
b
垂直．
（2）若|
a
+
b
|=5
3
，求cos（α-β）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
，
b
是不共線的向量，且
AB
=λ1
a
+
b
，
AC
=
a
+λ2
b
，（λ1，λ2∈R），若A、B、C三點共線，則λ1，λ2滿足（　　）

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