已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=
3
2
，它與直線x+y+1=0交于P、Q兩點(diǎn)，若OP⊥OQ，求橢圓方程．（O為原點(diǎn)）．
分析：先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率的范圍求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而表示出b和a的關(guān)系，代入橢圓方程，根據(jù)OP⊥OQ判斷出x1x2=-y1y2，直線與橢圓方程聯(lián)立消去y，進(jìn)而根據(jù)表示出x1x2和y1y2，根據(jù)x1x2=-y1y2求得b的值．進(jìn)而橢圓的方程可得．
解答：解：設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1，
由
c
a
=
3
2
得
c=
3
2
a
b=
1
2
a

∴橢圓方程為
x2
4b2
+
y2
b2
=1，即x2+4y2=4b2設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），
則由OP⊥OQ?x1x2=-y1y2
y=-1-x
x2+4y2=4b2
?5x2+8x+4-4b2=0由△＞0?b2＞
1
5
X1+X2=-
8
5
，x1x2=
4-4b2
5

y1y2=（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=
4-4b2
5
+(-
8
5
)+1=
1-4b2
5

∴
4-4b2
5
+
1-4b2
5
=0
b2=
5
8
＞
1
5

∴橢圓方程為
x2
5
2
+
y2
5
8
=1
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)．直線與圓錐曲線的關(guān)系，以及平面向量的幾何由意義．考查了基本知識的識記和基本的運(yùn)算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知橢圓中心在原點(diǎn)，F(xiàn)是焦點(diǎn)，A為頂點(diǎn)，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P，Q在橢圓上，且PD⊥l于D，QF⊥AO，則①
|PF|
|PD|
；②
|QF|
|BF|
；③
|AO|
|BO|
；④
|AF|
|AB|
；⑤
|FO|
|AO|
，其中比值為橢圓的離心率的有（　�。�
A、1個(gè)B、3個(gè)C、4個(gè)D、5個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2，到右頂點(diǎn)的距離為1，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=
2
2
，點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)F2且垂直于長軸的弦長為
2

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓的左焦點(diǎn)F1作直線l，交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，若
F2P
•
F2Q
=2，求直線l的傾斜角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸，長軸長為短軸長的3倍，且過點(diǎn)P（3，2），求此橢圓的方程；
（2）求與雙曲線
x2
5
-
y2
3
=1有公共漸近線，且焦距為8的雙曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知橢圓中心在原點(diǎn)，F(xiàn)是焦點(diǎn)，A為頂點(diǎn)，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P，Q在橢圓上，且PD⊥l于D，QF⊥AO，則橢圓的離心率是①
|PF|
|PD|
；②
|QF|
|BF|
；③
|AO|
|BO|
；④
|AF|
|AB|
；⑤
|FO|
|AO|
，其中正確的是
①②③④⑤
①②③④⑤
．

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