Question

已知拋物線的焦點為，點是拋物線上的一點，且其縱坐標為4，．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ) 設(shè)點是拋物線上的兩點，的角平分線與軸垂直，求的面積最大時直線的方程．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)拋物線的方程為；(Ⅱ )所求直線的方程為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由拋物線定義可求出；（Ⅱ）由的角平分線與軸垂直，可知的傾斜角互補，即的斜率互為相反數(shù)，可設(shè)的方程，利用設(shè)而不求的方法來求的斜率為，設(shè)直線的方程，利用玄長公式與點到直線距離公式得的面積，由面積最大時來確定，從而得直線的方程．

試題解析：（Ⅰ）解：設(shè)，因為，由拋物線的定義得，又，所以，

因此，解得，從而拋物線的方程為 ；

（Ⅱ）由（1）知點的坐標為，設(shè)，因為的角平分線與軸垂直，所以可知的傾斜角互補，即的斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線的斜率為，則，由題意，把代入拋物線方程得，該方程的解為4、，由韋達定理得，即，同理，所以，

 設(shè)，把代入拋物線方程得，由題意，且，從而，又，所以，點到的距離，因此，設(shè)，

則，，由知，所以在上為增函數(shù)，因此，即面積的最大值為．的面積取最大值時，所求直線的方程為．

 考點：1、求拋物線方程，2、直線與二次曲線的位置關(guān)系，3、利用導(dǎo)數(shù)求最值．