Question

已知函數(shù)f（x）=x+sinx（x∈R），且f（y²-6y+11）+f（x²-8x+10）≤0，則當(dāng)y≥3時，函數(shù)F（x，y）=x²+y²的最小值與最大值分別為（ ）
A．13、45
B．9、45
C．13、49
D．9、49

Answer 1

【答案】分析：由題意可得：函數(shù)f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函數(shù)，并且在R上是增函數(shù)．進而可得（x-4）²+（y-3）²≤4（y≥3）表示以（4，3）為圓心，以2為半徑的上半圓面，再根據(jù)x²+y²的幾何意義是點（x，y）到原點的距離的平方可得答案．
解答：解：由題意可得：函數(shù)f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函數(shù)，
又因為f′（x）=1+cosx≥0，
所以函數(shù)f（x）=x+sinx在R上是增函數(shù)．
因為f（y²-6y+11）+f（x²-8x+10）≤0，
所以f（y²-6y+11）≤-f（x²-8x+10）=f（-x²+8x-10），
所以y²-6y+11≤-x²+8x-10，即（x-4）²+（y-3）²≤4，
因為y≥3，所以此不等式表示以（4，3）為圓心，以2為半徑的上半圓面．
根據(jù)x²+y²的幾何意義是點（x，y）到原點的距離的平方可得：x²+y²的最小值與最大值分別為13、49．
故選C．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，以及考查x²+y²的幾何意義是距離的平方．