【題目】在如圖所示的幾何體中,平面.

(1)證明:平面

(2)求平面與平面所成二面角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析;(2).

【解析】分析:(1)中,由勾股定理可得.平面據(jù)此可得.利用線面垂直的判斷定理可得平面.

(2)(方法一)延長,相交于,連接由題意可知二面角就是平面與平面所成二面角.的中點為,則就是二面角的平面角.結(jié)合幾何關(guān)系計算可得.

(方法二)建立空間直角坐標系,計算可得平面的法向量.取平面的法向量為.利用空間向量計算可得.

詳解:(1)中,.

所以,所以為直角三角形,.

又因為平面,所以.

,所以平面.

(2)(方法一)如圖延長,相交于,連接,

則平面平面.

二面角就是平面與平面所成二面角.

因為,所以的中位線.

,這樣是等邊三角形.

的中點為,連接,因為平面.

所以就是二面角的平面角.

,所以.

(方法二)建立如圖所示的空間直角坐標系,可得.

.

設(shè)是平面的法向量,則

.

取平面的法向量為.

設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為

,從而.

練習冊系列答案
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當直線ABa60°角時,ABb60°角;

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