Question

已知函數(shù)圖像上一點(diǎn)處的切線方程為(1)求的值；(2)若方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍；(3)令如果的圖像與軸交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，求證：

 

Answer 1

(1) a＝2,b＝1. (2) (3)詳見解析.

【解析】

試題分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，即 ，又 ，所以可得a＝2,b＝1. (2)利用函數(shù)與方程思想，即研究函數(shù)圖像與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719204835882790/SYS201411171921041407824546_DA/SYS201411171921041407824546_DA.007.png"> ，所以當(dāng)x∈時(shí),, f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x∈時(shí), , f(x)是減函數(shù).且，所以 (3)正難則反，假設(shè)這樣從等量關(guān)系進(jìn)行邏輯推理，先列出等量關(guān)系，五個(gè)未知數(shù)，四個(gè)方程，應(yīng)建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是消元，觀察可知應(yīng)消去，得，轉(zhuǎn)化為，這是關(guān)于的一元函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可研究其單調(diào)性＞0，故，即方程無解，假設(shè)不成立.

試題解析：【解析】
(1),,.

∴,且.解得a＝2,b＝1. . (4分)

(2),設(shè),

則,令,得x＝1(x＝－1舍去).

當(dāng)x∈時(shí),, h(x)是增函數(shù)；當(dāng)x∈時(shí),, h(x)是減函數(shù).

則方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根的充要條件是

解得. (8分)

(3),.假設(shè)結(jié)論成立,

則有,①－②,得.

∴.由④得,于是有,∴,

即.⑤ 令, (0＜t＜1),則＞0.

∴在0＜t＜1上是增函數(shù),有,∴⑤式不成立,與假設(shè)矛盾.

∴. (12分)

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求切線，利用導(dǎo)數(shù)求值域，利用導(dǎo)數(shù)證不等式