Question

已知直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，圓C：（x-1）²+（y-2）²=25．
（1）判斷直線l和圓C的位置關系；
（2）若直線l和圓C相交，求相交弦長最小時m的值．

Answer 1

分析：（1）將直線l化簡，得m（2x+y-7）+x+y-4=0，算出它經(jīng)過直線x+y-4=0與2x+y-7=0的交點M（3，1），而M恰好是圓C內(nèi)一個定點，由此可得直線l和圓C相交；
（2）當直線l到圓心的距離達到最大值時，相交弦長最小．由垂徑定理得此時直線l與CM互相垂直，由此建立關于m的方程，解之即可得到相交弦長最小時m的值．

解答：解：（1）∵直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，
∴化簡得m（2x+y-7）+x+y-4=0，
因此，直線l經(jīng)過直線x+y-4=0與2x+y-7=0的交點M（3，1）
又∵（3-1）²+（1-2）²＜25，
∴點E（3，1）在圓C的內(nèi)部，可得直線l和圓C相交；
（2）假設直線l和圓C相交于點E，F(xiàn)，由相交弦長公式|EF|=2

25-d2

，
其中d為圓心C到直線l的距離，
根據(jù)垂徑定理，當d最大時相交弦長最小，而由（1）知，
直線l過定點M（3，1），所以dmax=|CE|=

5

，
即CE⊥l，根據(jù)CE的斜率kCE=

2-1

1-3

=-

1

2

，
可得相交弦長最小時，l的斜率kl=-

2m+1

m+1

=2，解之得m=-

3

4

．

點評：本題給出動直線，判斷直線與圓的位置關系并求直線被圓截得弦長的最小值．著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．