Question

（2013•湖州二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

3

=1（a＞

10

）的右焦點F在圓D：（x-2）²+y²=1上，直線l：x=my+3（m≠0）交橢圓于M，N兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點N關(guān)于x軸的對稱點為N₁，且直線N₁M與x軸交于點P，試問△PMN的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由圓D：（x-2）²+y²=1，令y=0，解得圓D與x軸交與兩點（3，0），（1，0）．在橢圓中c=3或c=1，又b²=3，得到a²=12或a²=4（舍去，因為a＞

10

）．即可得到橢圓的方程．
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則N₁（x₂，-y₂）．直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，對于直線N₁M的方程

y-y1

-y2-y1

=

x-x1

x2-x1

，令y=0，即可得到點P的坐標(biāo)；
解法一：利用三角形的面積計算公式S△PMN=

1

2

|FP|•|y1-y2|=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

，把根與系數(shù)的關(guān)系代入，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出m的取值與三角形PMN的最大值．．
解法二：利用弦長公式=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

，及點P到直線l的距離公式求出點P到直線MN的距離d，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)知，圓D：（x-2）²+y²=1，令y=0，
解得圓D與x軸交與兩點（3，0），（1，0）．
所以，在橢圓中c=3或c=1，又b²=3，
所以，a²=12或a²=4（舍去，因為a＞

10

）．
于是，橢圓C的方程為

x2

12

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則N₁（x₂，-y₂）．
聯(lián)立方程

x2 12 + y2 3 =1 x=my+3

⇒（m²+4）y²+6my-3=0，
所以y1+y2=-

6m

m2+4

，y1y2=-

3

m2+4

．
因為直線N₁M的方程為

y-y1

-y2-y1

=

x-x1

x2-x1

，令y=0，
則x=

y1(x2-x1)

y2-y1

+x1=

y1x2-y2x1

y1+y2

=

2my1y2+3(y1+y2)

y2+y1

=

-6m m2+4 - 18m m2+4

-6m m2+4

=

-24m

-6m

=4，
所以得點P（4，0）．
解法一：S△PMN=

1

2

|FP|•|y1-y2|=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

•

36m2 (m2+4)2 + 12 (m2+4)

=2

3

m2+1 (m2+4)2

=2

3•

1 (m2+1)+ 9 m2+1 +6

≤2

3

•

1 12

=1．

當(dāng)且僅當(dāng)m²+1=3即m=±

2

時等號成立．
故△PMN的面積存在最大值1．
（或：S△PMN=2

3

m2+1 (m2+4)2

=2

3

- 1 (m2+4)2 + 1 m2+4

．
令t=

1

m2+4

∈(0 ， 

1

4

]，
則S△PMN=2

3

•

-3t2+t

=2

3

•

-3(t- 1 6 )2+ 1 12

≤1．
當(dāng)且僅當(dāng)t=

1

6

∈(0 ， 

1

4

]時等號成立，此時m²=2．
故△PMN的面積存在最大值為1．
解法二：|MN|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(m2+1)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(m2+1)[ 36m2 (m2+4)2 + 12 m2+4 ]

=4

3

•

m2+1

m2+4

．
點P到直線l的距離是

|4-3|

m2+1

=

1

m2+1

．
所以，S△PMN=

4 3

2

•

1

m2+1

•

m2+1

m2+4

=2

3

m2+1 (m2+4)2

=2

3

•

-3( 1 m2+4 )2+ 1 m2+4

．
令t=

1

m2+4

∈(0 ， 

1

4

]，
則S△PMN=2

3

•

-3t2+t

=2

3

•

-3(t- 1 6 )2+ 1 12

≤1．
當(dāng)且僅當(dāng)t=

1

6

∈(0 ， 

1

4

]時等號成立，此時m²=2．
故△PMN的面積存在最大值為1．

點評：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面積計算公式、基本不等式、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了推理能力、計算能力．