Question

設(shè)函數(shù)，，其中為實(shí)數(shù),若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍．

 

Answer 1

a∈(e,+∞)

【解析】

試題分析：分別利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間與在上的最小值，與給定的在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值相結(jié)合，得出關(guān)于的關(guān)系式，可得的取值范圍．

 

【解析】
令,

考慮到f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),故a>0,進(jìn)而解得x>a-1,即f(x)在(a-1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),

同理,f(x)在(0,a-1)上是單調(diào)增函數(shù)．

由于f(x)在(1,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),故(1,+∞)(a-1,+∞),從而a-1≤1,即a≥1,

令g'(x)=ex-a=0,得．

當(dāng)時(shí), ;當(dāng)x>時(shí), ．

又g(x)在(1,+∞)上有最小值,所以,

即a>e．綜上,有a∈(e,+∞)．

考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值．