Question

在長方體ABCD—A1B1C1D1中，，點E是棱AB上一點．且．

（1）證明：；

（2）若二面角D1—EC—D的大小為，求的值．

 

Answer 1

（1）詳見解析;（2）－1．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意顯然以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標系．此時不妨設AD =AA1＝1，AB＝2，則本表示出圖中各點坐標，這里主要是要運用向量的知識表示出點E的坐標，這樣就可表示出和的坐標，利用向量垂直的充要條件：它們的數(shù)量積等于0，問題即可得證;（2）運用求平面法向量的知識分別求出：平面DEC的法向量為n1＝(0，0，1);平面D1CE的法向量為，利用向量夾角知識可得： ，可解得±－1．利用E是棱AB上的一點，所以λ＞0，故所求的λ值為－1．

試題解析：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，

DD1為z軸建立空間直角坐標系．

不妨設AD =AA1＝1，AB＝2，

則D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，2，0)，

C(0，2，0)，A1(1，0，1)，B1(1，2，1)，C1(0，2，1)，D1(0，0，1)．

因為＝λ，所以，于是(－1，0，－1)．

所以．

故D1EA1D． 5分

（2）因為D1D⊥平面ABCD，所以平面DEC的法向量為n1＝(0，0，1)．

又，(0，－2，1)．

設平面D1CE的法向量為n2＝(x，y，z)，

則n2·，n2·，

所以向量n2的一個解為．

因為二面角D1—EC—D的大小為，則．

解得±－1．

又因E是棱AB上的一點，所以λ＞0，故所求的λ值為－1． 10分

考點：1.向量的數(shù)量積的應用;2.平面的法向量;3.空位位置關系