設(shè)函數(shù)f（x）=
x
x2-1
．
（1）求f[f（
1
2
）]；
（2）判斷并證明f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性．
考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值
專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）先求出f（
1
2
），同理即可求出f[f（
1
2
）]的值．
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義設(shè)-1＜a＜b＜1 只要證明f（a）＞f（b），則 函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減．
解答： （1）已知函數(shù)f（x）=
x
x2-1
．
可計算f（
1
2
）=-
2
3
．
所以f[f（
1
2
）]=f（-
2
3
）=
6
5
．
（2）設(shè)-1＜a＜b＜1，
f（a）-f（b）=
a
a2-1
-
b
b2-1
=
ab2-a-ba2+b
(a2-1)(b2-1)
=
(b-a)(ab+1)
(a2-1)(b2-1)
，
∵-1＜x＜1∴ab+1＞0，a2-1＜0，b2-1＜0
∴（ab+1）（b-a）＞0 （a2-1）（b2-1）＞0
∴f（a）＞f（b）∵a＜b
∴函數(shù)f （x）在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)求值，屬于基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若曲線xy=a（a≠0），則過曲線上任意一點的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積是（　�。�
A、2a2
B、a2
C、2|a|
D、|a|

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知α=
7
8
π，則∠α的終邊所在的象限是（　�。�
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x2-4x+c，f（1）=1．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若f（a）=9，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，游樂場所的摩天輪逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)一周需要12min，其中心O離地面45米，半徑40米．如果你從最低處登上摩天輪，那么你與地面的距離y與時間t（min）滿足y=B+Acos（ωt+ψ），以你登上摩天輪的時刻開始計時，請回答下列問題：
（1）求出你與地面的距離y和時間t（min）的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當你登上摩天輪2分鐘后，你的朋友也在摩天輪的最低處登上摩天輪，問你的朋友登上摩天輪多少時間后，第一次出現(xiàn)你和你的朋友與地面的距離之差最大？求出這個最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)
a
=（a_1，a_2），
b
=（b_1，b_2）定義向量積：
a
?
b
=（a_1b_1，a_2b_2）
已知
m
=（2，
1
2
）
n
=（
π
3w
，m）（w＞0）點p（x，y）為曲線y=sinwx上的動點，點Q為曲線y=f（x）上的動點
且滿足
OQ
=
m
?
OP
+
n
（其中0為坐標原點）
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式（用w、m表示）；
（2）當m=-
1
2
時，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=-1的所有交點的最小距離為
π
3
，求w的值；
（3）若函數(shù)f（x）滿足條件f（x+3）+f（x）=0，當x∈[0，1]時，-4＜f（x）＜4恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

當0＜x＜4時，求y=x（8-2x）的最大值；已知x＞0，y＞0，且
1
x
+
9
y
=1，求x+y的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=kx，g（x）=
lnx
x

（Ⅰ）求函數(shù)g（x）=
lnx
x
的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）求證：
ln2
24
+
ln3
34
+…+
lnn
n4
＜
1
2e
（1-
1
n
）（n≥2，n∈N*）．（e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知a，b是兩個正實數(shù)，證明：
a+b
2
≥
ab
，并指出等號成立的條件．
（2）設(shè)a是正實數(shù)，利用（1）的結(jié)論求復(fù)數(shù)z=
3a
+（
1
a
-
a
）i模的最小值．

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同步練習(xí)冊答案