Question

已知函數(shù)f（x）=m（x-1）²-2x+3+lnx，m∈R．
（1）當(dāng)m=0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)m＞0時，若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，1）處的切線l與曲線y=f（x）有且只有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

解：（1）當(dāng)m=0時，函數(shù)f（x）=-2x+3+lnx
由題意知x＞0，f′（x）=-2+=，令f′（x）＞0，得0＜x＜時，
所以f（x）的增區(qū)間為（0，）．
（2）由f′（x）=mx-m-2+，得f′（1）=-1，
知曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，1）處的切線l的方程為y=-x+2，
于是方程：-x+2=f（x）即方程 m（x-1）²-x+1+lnx=0有且只有一個實(shí)數(shù)根；
設(shè)g（x）=m（x-1）²-x+1+lnx，（x＞0）．
則g′（x）==，
①當(dāng)m=1時，g′（x）=≥0，g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且g（1）=0，故m=1符合題設(shè)；
②當(dāng)m＞1時，由g′（x）＞0得0＜x＜或x＞1，
由g′（x）=＜0得＜x＜1，
故g（x）在區(qū)間（0，），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（ 1，）區(qū)間單調(diào)遞減，
又g（1）=0，且當(dāng)x→0時，g（x）→-∞，此時曲線y=g（x）與x軸有兩個交點(diǎn)，故m＞1不合題意；
③當(dāng)0＜m＜1時，由g′（x）=＞0得0＜x＜1或x＞，
由g′（x）=＜0得1＜x＜，
故g（x）在區(qū)間（0，1），（1，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）區(qū)間單調(diào)遞減，
又g（1）=0，且當(dāng)x→0時，g（x）→+∞，此時曲線y=g（x）與x軸有兩個交點(diǎn)，故0＜m＜1不合題意；
∴由上述知：m=1．
分析：（1）求出f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，即得f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）先求切線方程為y=-x+2，再由切線L與C有且只有一個公共點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為m（x-1）²-x+1+lnx=0有且只有一個實(shí)數(shù)解，從而可求實(shí)數(shù)m的范圍．
點(diǎn)評：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查分析問題解決問題的能力，考查轉(zhuǎn)化思想．