Question

拋物線C的方程為y=ax²（a＜0），過拋物線C上一點P（x，y）（x≠0）作斜率為k₁，k₂的兩條直線分別交拋物線C于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）兩點（P，A，B三點互不相同），且滿足k₂+λk₁=0（λ≠0且λ≠-1）．
（Ⅰ）求拋物線C的焦點坐標和準線方程
（Ⅱ）設直線AB上一點M，滿足=λ，證明線段PM的中點在y軸上．
（Ⅲ）當λ=1時，若點P的坐標為（1，-1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標y₁的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）數(shù)形結(jié)合，依據(jù)拋物線C的標準方程寫焦點坐標和準線方程．
（2）先依據(jù)條件求出點M的橫坐標，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系，證明x_M+x=0．
（3）∠PAB為鈍角時，必有•＜0．用k_1^表示y_{1，^通過}k_{1^{的范圍來求y1的范圍．}}
解答：解：（Ⅰ）由拋物線C的方程y=ax²（a＜0）得，焦點坐標為（0，），準線方程為y=-．
（Ⅱ）證明：設直線PA的方程為y-y=k₁（x-x），直線PB的方程為y-y=k₂（x-x）．
點P（x，y）和點A（x₁，y₁）的坐標是方程組的解．
將②式代入①式得ax²-k₁x+k₁x-y=0，于是x₁+x=，故x₁=-x₀ ③．
又點P（x，y）和點B（x₂，y₂）的坐標是方程組  的解．
將⑤式代入④式得ax²-k₂x+k₂x-y=0．于是x₂+x=，故x₂=-x．
由已知得，k₂=-λk₁，則x₂=--x． ⑥
設點M的坐標為（x_M，y_M），由=λ，可得 x_M=．
將③式和⑥式代入上式得x_M==-x，
即x_M+x=0．所以線段PM的中點在y軸上．
（Ⅲ）因為點P（1，-1）在拋物線y=ax²上，所以a=-1，拋物線方程為y=-x²．
由③式知x₁=-k₁-1，代入y=-x² 得 y₁=-（k₁+1）²．
將λ=1代入⑥式得   x₂=k₁-1，代入y=-x²得   y₂=-（k₂+1）²．
因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點A、B的坐標為A（-k₁-1，-k₁²-2k₁-1），B（k₁-1，-k₁²+2k₁-1）．
于是=（k₁+2，k₁²+2k₁），=（2k₁，4k₁），
•=2k₁（k₁+2）+4k₁（k₁²+2k₁）=2（k₁+2）（2+k₁1）．
因∠PAB為鈍角且P、A、B三點互不相同，故必有•＜0．
求得k₁的取值范圍是k₁＜-2，或-＜k₁＜0．
又點A的縱坐標y₁滿足y₁=-（k₁+1）²，故當k₁＜-2時，y₁＜-1；當-＜k₁＜0時，-1＜y＜-．
即y₁∈（-∞，-1）∪（-1，-）．
點評：本題綜合考查直線和圓錐曲線位置關系，訓練學生的綜合應用知識解決問題的能力，屬于中檔題．