Question

已知A，B是拋物線x²=2py（p＞0）上的兩個動點，O為坐標原點，非零向量

OA

， 

OB

滿足|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|．
（Ⅰ）求證：直線AB經(jīng)過一定點；
（Ⅱ）當AB的中點到直線y-2x=0的距離的最小值為

2 5

5

時，求p的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證直線經(jīng)過定點，只需找到直線方程，在驗證不管參數(shù)為何值都過某一定點即可，可根據(jù)|

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|判斷直線OA，OB垂直，設(shè)AB方程，根據(jù)OA，OB垂直消去一些參數(shù)，再進行判斷．
（Ⅱ）設(shè)AB中點的坐標根據(jù)OA，OB垂直，可得AB中點坐標滿足的關(guān)系式，再用點到直線的距離公式求AB的中點到直線y-2x=0的距離的，求出最小值，讓其等于

2 5

5

，解參數(shù)p即可．

解答：解：（Ⅰ）∵  |

OA

+

OB

|=|

OA

-

OB

|，
∴OA⊥OB．設(shè)A，B兩點的坐標為（x₁，y₁），（x₂，y₂）則 x₁²=2py₁，x₂²=2py₂．
經(jīng)過A，B兩點的直線方程為（x₂-x₁）（y-y₁）=（y₂-y₁）（x-x₁）．
由y1=

x 2 1

2p

，

y2=

x 2 2

2p

，得(x2-x1)(y-y1)=(

x 2 2

2p

-

x 2 1

2p

)(x-x1)．
∵x1≠

x2

∴y-y1=

x2+x1

2p

(x-x1)．令x=0，得y-y1=

x2+x1

2p

(-x1)，
∴y=-

x1x2

2p

（*）
∵OA⊥OB
∴x₁x₂+y₁y₂=0，從而x1x2+

x12x22

4p2

=0．
∵x₁x₂≠0（否則，

OA

，

OB

有一個為零向量），
∴x₁x₂=-4p²．代入（*），得 y=2p，
∴AB始終經(jīng)過定點（0，2p）．
（Ⅱ）設(shè)AB中點的坐標為（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∴x₁²+x₂²=2py₁+2py₂=2p（y₁+y₂）．
又∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（x₁+x₂）²+8p²，
∴4x²+8p²=4py，
即 y=

1

p

x2+2p．…①
AB的中點到直線y-2x=0的距離d=

|y-2x|

5

．
將①代入，得d=

| 1 p x2+2p-2x|

5

=

| 1 p (x-p)2+p|

5

=

1 p (x-p)2+p

5

．
因為d的最小值為

2 5

5

，
∴

p

5

=

2 5

5

，
∴p=2．

點評：本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷，注意韋達定理的應(yīng)用．